यदि f(x) = begin{cases} x, & text{जब } x text | vedclass

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Question

(A) माना $h(x) = (f - g)(x)$.जब $x \in \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.जब $x 
otin \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x =

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एकैकी आच्छादक

Vedclass · Answer

(A) माना $h(x) = (f - g)(x)$.जब $x \in \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.जब $x 
otin \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x = -x$.अतः,$h(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \ -x, & x 
otin \mathbb{Q} \end{cases}$.यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ एकैकी है: माना $h(x_1) = h(x_2)$। यदि $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ है,तो $x_1 = x_2$। यदि $x_1, x_2 
otin \mathbb{Q}$ है,तो $-x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,$h(x)$ एक एकैकी फलन है।यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ आच्छादक है: किसी भी $y \in \mathbb{R}$ के लिए,यदि $y \in \mathbb{Q}$ है,तो $h(y) = y$। यदि $y 
otin \mathbb{Q}$ है,तो $h(-y) = -(-y) = y$। अतः,प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,एक ऐसा $x$ मौजूद है कि $h(x) = y$। इसलिए,यह एक आच्छादक फलन है।

$(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$	$I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
$(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$	$II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$	$III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$	$IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है
	$V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है

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